Uniwersytet Jagielloński w Krakowie - Punkt LogowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza funkcjonalna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: WMI.IM-AF-OM.1fns Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza funkcjonalna
Jednostka: Instytut Matematyki
Grupy:
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/2021" (zakończony)

Okres: 2021-02-25 - 2021-06-15
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 14 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 42 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Zenon Jabłoński
Prowadzący grup: Dariusz Cichoń, Zenon Jabłoński, Anna Pelczar-Barwacz, Piotr Pikul
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ocena wliczana do średniej:

tak

Efekty kształcenia:

W zakresie wiedzy

1 zna wybrane pojęcia i metody analizy funkcjonalnej K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

2 zna pojęcia teorii przestrzeni Hilberta oraz podstawowe twierdzenia tejteorii K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

3 rozumie pojęcie bazy ortonormalnej oraz zna jej przykłady K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

4 zna pojęcie funkcjonału liniowego oraz przestrzeni dualnej K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

5 zna twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i jego równoważne wersje K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

6 Zna twierdzenie Hanha-Banacha K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

7 zna zasadę jednostajnej ograniczoności K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

8 zna twierdzenie o analitycznym oddzielaniu zbiorów wypukłych K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05

9 zna słabe i *-słabe topologie oraz ich podstawowe własności K_W01, K_W02, K_W03, K_W04, K_W05


W zakresie umiejętności

1 potrafi stwierdzić czy dany układ wektorów tworzy układ lub bazęortonormalną K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

2 umie rozstrzygnąć czy dana przestrzeń unormowana jest przestrzenią unitarną K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

3 potrafi stosować twierdzenie Riesza do określania norm funkcjonałów K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

4 umie rozstrzygnąć, czy metryka na przestrzeni wektorowej zadaje strukturę F-przestrzeni K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

5 potrafi wykorzystać zasadę jednostajnej ograniczoności w rozumowaniach matematycznych K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

6 umie zastosować twierdzenie o wykresie domkniętym i jego równoważne sformułowania do badania ciągłości operatorów liniowych K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

7 umie rozstrzygnąć, czy układ seminorm zadaje strukturę przestrzeni lokalnie wypukłej K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12

8 potrafi badać zbieżność ciągów w przestrzeniach unormowanych, również w topologii słabej i *-słabej K_U01, K_U02, K_U03, K_U04, K_U05, K_U09, K_U14, K_U12


W zakresie kompetencji społecznych

1 rozumie potrzebę precyzyjnego zapisywania i wyjaśniania rozumowań K_K02, K_K07

2 potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym rozumowaniu K_K02, K_K07

3 stara się podchodzić krytycznie do prezentowanych rozumowań, ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych K_K02, K_K07


Wymagania wstępne:

brak

Forma i warunki zaliczenia:

Formę i warunki zaliczenia modułu ustala jego koordynator zgodnie z zasadami określonymi w Uchwale Rady Wydziału.

Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia uzyskanych przez studentów:

Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem modułu.

Metody dydaktyczne:

Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia.

Bilans punktów ECTS:

Udział w wykładach - 30 godz.

Udział w ćwiczeniach – 30 godz.

Samodzielne rozwiązywanie zadań tablicowych (deklarowanych) – 30 godz.

Przygotowanie do kolokwiów oraz obecność na kolokwiach – 30 godz.

Przygotowanie do egzaminu oraz obecność na egzaminie - 30 godz.

Łączny nakład pracy studenta: 150 godzin , co odpowiada 6 punktom ECTS


Grupa treści kształcenia:

Grupa treści podstawowych

Sylabus przedmiotu dla studentów rozpoczynających studia od roku akademickiego 19/20 lub później:

matematyka, rok 1
matematyka, rok 1
matematyka, rok 1
matematyka, rok 1

Pełny opis:

Przestrzenie Banacha, przykłady. Nierówności Höldera i Minkowskiego; przestrzenie Lp(μ). Przestrzenie Hilberta, przykłady. Nierówność Cauchy'ego-Schwarza. Twierdzenie o realizacji odległości punktu od zbioru wypukłego w przestrzeni Hilberta. Twierdzenie o operatorze rzutu ortogonalnego. Twierdzenie o podwójnym dopełnieniu ortogonalnym. Twierdzenie Riesza o postaci ciągłego funkcjonału liniowego w przestrzeni Hilberta. Nierówność Bessela. Charakteryzacje bazy ortonormalnej, szeregi Fouriera. Tożsamość Parsevala. Wymiar ortogonalny przestrzeni Hilberta. Charakteryzacja ośrodkowych przestrzeni Hilberta za pomocą wymiaru. Operatory liniowe na przestrzeniach unormowanych: ciągłość i ograniczoność. Twierdzenie Banacha-Steinhausa. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym i odwrotnym. Twierdzenie Banacha o wykresie domkniętym. Twierdzenie Hahna-Banacha - wersja analityczna rzeczywista oraz dla przestrzeni unormowanych. Przestrzenie refleksywne. Twierdzenie o analitycznym oddzielaniu rozłącznych zbiorów wypukłych. Topologie słaba σ(X,X') i słaba* σ(X',X). Twierdzenie Mazura. Twierdzenie Banacha-Alaoglu. Elementy teorii spektralnej.

Literatura:

Moduł ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał wyłożony, literatura ma charakter pomocniczy. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie wykładu.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Jagielloński w Krakowie.