Uniwersytet Jagielloński w Krakowie - Punkt LogowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Teoria liczb

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: WMI.IM-TL-SM.t Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Teoria liczb
Jednostka: Instytut Matematyki
Grupy:
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/2021" (w trakcie)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 20 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 20 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Maciej Ulas
Prowadzący grup: Piotr Miska, Maciej Ulas
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ocena wliczana do średniej:

tak

Efekty kształcenia:

W zakresie wiedzy


1 Zna pojęcie pierwiastka prymitywnego. Zna twierdzenie o charakteryzacji liczb, które posiadają pierwiastek prymitywny KW_02, K_W04.

2 Zna pojęcie reszty kwadratowej, definicję symbolu Legendre'a i Jacobiego oraz prawo wzajemności reszt kwadratowych K_W02, K_W04.

3 Zna pojęcie ułamka łańcuchowego, reduktu ułamka łańcuchowego oraz aproksymacji diofantycznej KW_04.

4 Zna definicje funkcji addytywnej i multiplikatywnej wraz z przykładami KW_04.

5 Zna pojęcie szeregu Dirichleta, funkcji zeta Riemanna oraz iloczynu Eulera KW_04.

6 Zna twierdzenie o liczbach pierwszych KW_04.

7 Zna pojęcia partycji liczby naturalnej i funkcji tworzącej KW_04.

8 Zna twierdzenie Eulera o liczbach pięciokątnych oraz wyrażenie na potrójny iloczyn Jacobiego KW_04.


W zakresie umiejętności

1 Potrafi wyznaczać pierwiastki prymitywne KU_01, KU_42.

2 Potrafi wyznaczać wartość symbolu Legendre'a i Jacobiego. Potrafi rozwiązywać kongruencje kwadratowe KU_01, KU_42.

3 Potrafi rozwijać liczby rzeczywiste na ułamek łańcuchowy i potrafi wyznaczać okres rozwinięcia na ułamek łańcuchowy niewymiernych rzeczywistych liczb algebraicznych stopnia 2 KU_01, KU_42.

4 Potrafi sprawdzać, czy dana funkcja arytmetyczna jest addytywna (multiplikatywna) KU_01, KU_42.

5 Potrafi wyznaczać szereg Dirichelta dla podstawowych funkcji multiplikatywnych w zależności od funkcji zeta Riemanna KU_01, KU_42.

6 Potrafi wyznaczać funkcje tworzące dla partycji o elementach z danego zbioru i manipulować szeregami i iloczynami nieskończonymi KU_01, KU_42.


W zakresie kompetencji społecznych


1 rozumie potrzebę precyzyjnego zapisywania i wyjaśniania rozumowań K_K02, K_K07

2 potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym rozumowaniu K_K02, K_K07


Wymagania wstępne:

Ukończony podstawowy kurs algebry i analizy matematycznej.

Uwagi: kurs adresowany do studentów specjalności: stosowanej, teoretycznej. W zajęciach kursu mogą wziąć udział studenci trzeciego roku studiów pierwszego stopnia.

Forma i warunki zaliczenia:

Formę i warunki zaliczenia modułu ustala jego koordynator zgodnie z zasadami określonymi w Uchwale Rady Wydziału.

zaliczenie ćwiczeń w oparciu o aktywny udział w ćwiczeniach i sprawdziany pisemne lub pisemne opracowanie wybranego zagadnienia, egzamin ustny z materiału wyłożonego na wykładzie.

Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia uzyskanych przez studentów:

Zaliczenie ćwiczeń w oparciu o aktywny udział w ćwiczeniach i sprawdziany pisemne lub pisemne opracowanie wybranego zagadnienia, egzamin ustny z materiału wyłożonego na wykładzie.

Metody dydaktyczne:

Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia.

Bilans punktów ECTS:

Udział w wykładach - 30 godz.

Udział w ćwiczeniach – 30 godz.

Samodzielne rozwiązywanie zadań tablicowych (deklarowanych) – 30 godz.

Przygotowanie do kolokwiów oraz obecność na kolokwiach – 30 godz.

Przygotowanie do egzaminu oraz obecność na egzaminie - 30 godz.

Łączny nakład pracy studenta: 150 godzin , co odpowiada 6 punktom ECTS


Grupa treści kształcenia:

Grupa treści kształcenia do wyboru

Sylabus przedmiotu dla studentów rozpoczynających studia od roku akademickiego 19/20 lub później:

matematyka, rok 1
matematyka, rok 1

Pełny opis:

Tematyka kursu (w skrócie): Pierwiastki prymitywne. Reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, prawo wzajemności reszt kwadratowych i zastowania, symbol Jacobiego. Ułamki łańcuchowe i aproksymacje diofantyczne (twierdzenie Lagrange'a, twierdzenie Serreta, twierdzenie Borela, zastosowanie do rozwiązywania równania Pella). Reprezentacje liczb całkowitych jako sumy kwadratów. Funkcje addytywne i multiplikatywne, szeregi Dirichleta, iloczyny Eulera. Twierdzenie o liczbach pierwszych. Elementy teorii partycji (zastosowanie funkcji tworzących, twierdzenie o liczbach pięciokątnych, potrójny iloczyn Jacobiego i wnioski).

Literatura:

Moduł ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał wyłożony, literatura ma charakter pomocniczy. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie wykładu.

[1] T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, UTM, Springer 1976.

[2] S. J. Miller, R. Takloo-Bighash, An Invitation to Modern Number Theory, Princeton University Press 2006

[3] W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, 2003.

[4] B. A. Venkov, Elementary Number Theory, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen 1970

Uwagi:

kurs adresowany do studentów specjalności: stosowanej, teoretycznej. W zajęciach kursu mogą wziąć udział studenci trzeciego roku studiów pierwszego stopnia.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Jagielloński w Krakowie.