Uniwersytet Jagielloński w Krakowie - Punkt LogowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna III MS

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: WFAIS.IF-M003.1 Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna III MS
Jednostka: Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Grupy:
Punkty ECTS i inne: (brak)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Wymagania wstępne:

Przed przystąpieniem do zajęć z zakresu trzeciego semestru analizy matematycznej niezbędne jest zaliczenie pierwszego i drugiego semestru analizy matematycznej (w zakresie małego lub dużego kursu). Pożądane jest również zaliczenie kursu algebry liniowej oraz kursu mechaniki.

Forma i warunki zaliczenia:

Egzamin.

Pełny opis:

Tematyka:

Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe ? dalszy ciąg

Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego. Przegląd podstawowych typów równań różniczkowych. Zależność rozwiązań od warunków początkowych. Stabilność. Punkty osobliwe. Całki pierwsze równań różniczkowych. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego.

Rachunek wariacyjny.

Przestrzenie unormowane krzywych. Sformułowanie problemu wariacyjnego. Warunki konieczne istnienia ekstremum lokalnego funkcjonału. Zagadnienie izoperymetryczne.

Elementy analizy zespolonej ? dalszy ciąg

Szeregi Laurenta. Funkcje holomorficzne i ich podstawowe własności. Punkty osobliwe i ich klasyfikacja. Gałęzie jednoznaczne logarytmu. Zastosowanie rachunku residuów do wyznaczania całek oznaczonych. Odwzorowana konforemne. Rozwiązanie problemu Dirichleta dla koła. Funkcja Greena.

Funkcja Eulera.

Przestrzenie Hilberta. Szeregi Fouriera ? dalszy ciąg

Elementy teorii przestrzeni Hilberta. Przykłady przestrzeni Hilberta. Nierówność Schwarza. Nierówność Bessela. Układy zupełne. Twierdzenie Riesza-Fischera. Tożsamość Parsevala. Twierdzenie Fejera. Twierdzenie Weierstrassa o gęstości wielomianów w przestrzeni funkcji ciagłych.

Elementy teorii miary i całki.

Miara i całka Lebesgue?a ? porównanie z całką Riemanna.

Elementy teorii dystrybucji.

Przestrzeń D funkcji gładkich o zwartym nośniku oraz przestrzeń S funkcji szybko malejących. Przestrzeń dystrybucji. Podstawowe działania na dystrybucjach. Przestrzeń dystrybucji temperowanych. Transformata Fouriera dystrybucji temperowanych. Twierdzenie Plancherela.

------------------------------------------------

Podstawowe informacje o równaniach różniczkowych zwyczajnych przedstawiłem w pierwszym semestrze kursu, przedstawiając metodę całkowania równań o zmiennych rozdzielonych, równań liniowych i równań zupełnych.

W pierwszym semestrze analizy studenci poznali definicję płaszczyzny zespolonej, definicje dodawania i mnożenia liczb zespolonych; moduł, argument, sprzężenie liczby zespolonej; kryterium Cauchy?ego zbieżności szeregu o wyrazach zespolonych, wzór Cauchy?ego-Hadamarda na promień zbieżności szeregu potęgowego; wzór de Moivre?a, wzór na n-ty pierwiastek liczby zespolonej.

Zgodnie z obowiązującym programem informacje na temat technik rachunkowych związanych z rozwijaniem funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera (m.in. zastosowanie całkowania przez części i zastosowanie wzoru Leibniza na pochodną rzędu n iloczynu funkcji) podałem w pierwszym semestrze analiz matematycznej.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Jagielloński w Krakowie.